Jeno Varga's Room

[기하학의 공리적 접근] 

4개의 점만을 포함하는 평면에 대해 설명하기에 앞서 우선 기하학의 공리적 접근에 대하여 (정말!) 간단히 살펴본다.

(기하학의 공리적 접근과 관련하여 디자이너앨리스카페 http://cafe.naver.com/designeralice 에 있는 앨리스님의 글 '중학생을 위한 논리수학', 특히 두 번째 글 http://cafe.naver.com/designeralice/777 의 첨부파일을 참고로 읽어보면 도움이 될 것이다.)

유클리드는 다음과 같은 5개의 공리로부터 그의 기하 체계를 연역적으로 이끌어 내었다. (공리와 공준 모두 '증명하지 않고 참으로 인정하는 명제'로 거의 같은 개념이라고 볼 수도 있는데, 보통 '공준'은 기하와 관련된 명제에 사용하는 용어이다. 본 글에선 그냥 '공리'라는 단어를 사용한다.) 

E1. 임의의 서로 다른 두 점에 대하여, 그 두 점을 지나는 직선이 유일하게 존재한다.
E2. 직선은 무한히 뻗어 나간다. (선분을 무한히 (직선의 일부로) 연장 시킬 수 있다.)
E3. '임의의 점'에서, 그 점을 중심으로하고 '임의의 길이'를 반지름으로 갖는 원이 있다.
E4. 모든 직각은 서로 같다.
E5. 한 직선 L 과 L 위에 있지 않은  점 P에 대하여, P를 지나고 L과 평행한(만나지 않는) 직선이 유일하게 존재한다.

유클리드는 위의 5개의 공준을 최초의 가정으로 상정하고, 수 백개의 명제를 오직 이를 통해서 연역적으로 증명하려고 하였다. 이와 같이 최초의 공준 아래 연역적으로 기하체계를 만들어가는 방법을 기하학의 공리적 접근이라고 한다.

공리적 접근으로 만들어지는 기하체계는 그 체계를 이루는 기저라고 할 수 있는 공리계가 소위말하는 '완비성(=일관성), 독립성, 무모순성'이라는 세가지 조건을 만족시켜야 그 유효함을 인정받는다. (이 세가지 조건은 앨리스님의 글에 설명이 잘 나와있다.)

그런데 이 세가지 조건 중 완비성과 독립성은 추구하는 하나의 '이상'에 가까운 조건인 반면, 무모순성은 최소한으로 요구되는 조건으로 만약 설정된 공리를 만족시키는 모델(=계)을 실제로 제시할 수 있다면, 그 공리계의 무모순성의 보인 것이 된다. 유클리드 공리계에 대한 모델의 예로는 '유클리드 내적이 주어진 좌표 평면 R^2'를 들 수 있겠다. 기하학의 공리적 접근 및 모델에 관해 할 수 있는 이야기는 좀 더 많지만, 이 쯤에서 간략히 끝내기로 하고, 본 글에서 소개하고자 하는 포함하는 점이 4개 뿐인 아핀평면에 대해 이야기 해보자.

 

[아핀기하] 

아핀기하의 공리는 다음과 같다.

A0. 한 직선위에 있지 않은 점이 적어도 3개 있다.
A1. 서로 다른 두 점에 대하여, 그 두 점을 지나는 직선이 유일하게 존재한다.
A2. 직선은 무한히 뻗어 나간다.
A3. 한 직선 L 과 L 위에 있지 않은  점 P에 대하여, P를 지나고 L과 평행한(만나지 않는) 직선이 유일하게 존재한다.

아핀기하에서는 거리, 각 등을 생각하지 않는다. 또한 A4를 공리(평행선 공리)를 받아들인다는 점에서 유클리드기하-물론 유클리드기하/비유클리드 기하를 구분할 때의 그 유클리드기하!-에 속한다고 할 수 있다. 이제 위의 공리를 만족시키는 모델의 구성하여 보자.

 

[4점 소기하]

우선 A0에 의해 세 점 A, B, C 를 생각할 수 있다. 우리는 이 세 점을 가지고 출발하여, [아핀기하의 공리를 만족시키려면 적어도 '이러한 것'들은 있어야 한다.]라는 사고방식으로 공리계를 만족시키는 모델을 찾아보고자 한다.  

이 세 점과 아핀기하의 공리계를 생각해 보면 A1. 때문에 ,즉 서로 다른 두 점을 지나는 직선이 유일하게 존재해야 하기 때문에 다음과 같이 세 직선 L, M, N 이 있어야만 함을 알 수 있다.  

이제 '3개의 점, 3개의 직선' 그리고 평행선 공리를 생각해보자. 우선 직선 L과 점 C의 관계를 생각해보면, 점 C는 직선 L위에 있지 않은 한 점이므로, 평행선 공리에 의해 점 C를 지나는 직선 L의 평행선 L'이 있어야만 한다. 마찬가지 이유로 직선 M과 점 A의 관계를 생각해보면, 직선 M'이 있어야만 함을 알 수 있다. 이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.  

 잠깐,... 이 때 직선 L'과 M'은 반드시 만나야만 하나????.... 응?..... 

 과연 위 그림의 동그라미 안에 교점을 찍어야만 할 것인가. 지금 상황에서 이 질문은 [아핀기하 공리계를 만족시키기 위해서는 반드시 저 곳에 점이 찍혀야 하는가?]라는 말과 같은 것이다.  이럴 땐 보통, [만나지 않는다면 아무런 모순이 없을까?]라고 생각하는 것이 (거의) 관습이다. 

점 A는 직선 L'위에 있지 않은 점이므로 [A를 지나면서 L'과 평행한(만나지 않는) 직선]이 유일하게 존재해야만 한다. 그런데 이미 L과 L'은 서로 평행한 관계가 있는데, M'마저 L'과 만나지 않는다면(평행하다면) 두 직선 L과 M' 이 모두 A를 지나면서 L'과 평행한 직선이 되어버리므로 모순이다. 따라서 아핀기하의 공리계를 만족시키기 위해서는 M'과 L'은 반드시 만나야만 한다. 즉 두 직선 L', M'의 교점 D가 있어야만 한다. 이를 그림으로 나타내면 다음과 같다. 

이제 새로운 점 D가 생겼다! 다시 공리 A1을 생각해보면, B와 D를 지나는 직선이 유일하게 존재해야만 하므로 다음 그림의 검은색 직선을 얻는다. 이번에도 마찬가지로 이 직선과 직선 N이 반드시 만나야만 하는지를 확인해야한다.

 
물론 이번에도 '만나지 않는다면 어떻게 될까?'라고 생각해보면, 두 직선이 만나지 않더라도, 아핀기하의 공리 A1,A3이 성립함을 쉽게 확인 할 수 있다. (A0는 시작할 때부터 이미 성립함을 확보했고, A2는 이미지 파일 밖으로 상상의 나래를 펼치면 된다.ㅋㅋ) 따라서 다음 그림과 같은 아핀기하의 공리를 만족시키는 모델을 얻는다. 

 
위의 모델을 보통 '4점 소기하 모델' 혹은 '4점 평면'이라고 부른다. 가장 마지막에 그려진 검은색 직선(그림 파일 만들 때 이름 붙여주기를 깜빡해서 그냥 검은색 직선이라고 부름 ㅠㅠ)과 직선 N은 서로 평행한 관계에 있다. 

 [참고 문헌] 

위의 내용은 약 1년 6개월 저의 스승님께서 하신 강의 중 언급하셨던 내용입니다. 기억을 더듬어 작성해 보았습니다.

그 당시 '기하학개론 / 고석구 저/ 교우사'를 교재로 사용하긴 했지만, 이 책에 4점 소기하에 관련된 내용은 나오지 않습니다. 하지만 이 책은 아핀기하와 관련된 내용을 간결하게 다루고 있습니다. 예를 들어, 아핀기하는 유클리드의 공준 중 1,2,5 번 공준에만 의존하는 기하라는 이야기나, R^2에서의 아핀변환, 아핀변환의 기본정리 등을 언급하고 있습니다. 아! 그런데 개인적으로 이 책을 추천하는 것은 아닙니다.

오직 아핀기하만을 다룬 외국의 교재도 많이 있는 것 같습니다. 수학과 혹은 수학교육과가 있는 종합대학의 도서관에서 쉽게 구하실 수 있을 것입니다. 물론 4점 소기하를 다룬 책도 운이 좋으면 발결할 수 있습니다. ^^

기하학의 공리적 접근에 대해서는 여러 수학사 책들이 다루고 있습니다만, 간략히 살펴보기만을 원하시는 분은 '기하학의 역사적 배경과 발달 / 이장우 편저 / 경문사(?)'의 후반부에 많지 않은 분량으로 설명이 되어 있는 글을 읽어 보시면 될 것 입니다.